Equazioni di Maxwell

Partendo dalle seguenti equazioni, Maxwell tirò fuori le onde elettromagnetiche fino a dimostrare che la luce è un onda EM.

ε0∫E da = q	Legge di Gauss per il campo elettrico
∫B da = 0	Legge di Gauss per il campo magnetico
∫E ds = - dΦB / dt	Legge di induzione di Faraday
∫B ds = μ0( i + dΦE / dt)	Legge di Ampere Maxwell

Queste quattro equazioni viste attentamente sono a due a due simmetriche tra di loro, in quanto le prime due sono integrali di superficie rispettivamente del campo elettrico e magnetico, le seconde due sono integrali di linea del campo elettrico e magnetico. Un po’ di asimmetria è presente nei secondi membri perché guardando la legge di Gauss per il campo magnetico questo è pari a zero, bensì è giustificato dal fatto che non esistono monopoli magnetici come per le cariche elettriche, come ci viene mostrato da Gauss per il campo elettrico. Per quanto riguarda la legge di Ampere Maxwell, questa mostra una corrente “i” che è assente nella legge di Faraday, tuttavia in quest’ultima non ci potrebbero essere correnti dovute a cariche magnetiche. Tramite queste semplici considerazioni otteniamo una precisa simmetria. Per ottenere le equazioni di Maxwell in forma differenziale partiamo dalla legge di Gauss per il campo elettrico. Applicando la seguente ε0∫E da = q ad un elemento infinitesimo di volume a forma di parallelepipedo rettangolo nel quale vi è un punto “P” in cui è presente un campo elettrico, ovvero trovandoci nella seguente situazione:

Il vettore superficie A per la faccia posteriore è:

dA = - i dy dz

il meno è dovuto al fatto che “da” è scelto come normale verso l’esterno, per la faccia anteriore si ha

da = i dy dz

Se il campo elettrico vale “E” per la faccia posteriore, per quella anteriore è pari a “E + dE/dx * dx” poiché c’è una variazione di “E” lungo x. Per cui il contributo del flusso per la faccia anteriore è posteriore è :

(E)(-i dy dz) + (E + dE/dx * dx)(i dy dz) =

= -Ei dy dz + Ei dy dz + dEi/dx * dx dy dz=

= dx dy dz(dEx/dx)

Generalizzando il calcolo su tutto il volume e mettendo in evidenza dx dy dz otteniamo

dx dy dz(dEx/dx + dEy/dy + dEz/dz)

applicando gli operatori differenziali si ha

dx dy dz div E

che rappresenta il primo membro della legge di Gauss per il campo elettrico. Il secondo membro lo si ricava in questo modo:

sapendo che “q/ε0”  è la carica racchiusa nel volume, si può ragionare in termini di densità utilizzando la seguente equazione:

q = ∫ ρ dV

che per un elemento infinitesimo di volume si riduce a

q = ρ dx dy dz

infine uguagliando il primo e il secondo membro ottenuti si ha:

ε₀ dx dy dz div E = ρ dx dy dz

semplificando

ε0 div E = ρ

Legge di Gauss elettricità

Allo stesso modo si dimostra che:

div B = 0

Legge di Gauss magnetismo

In questo modo si sono ottenute le prime due equazioni. Per ricavare la terza e la quarta in forma differenziale , questa volta si prende la legge di Ampere-Maxwell:

∫B ds = μ₀( i + dΦ_E / dt)

Trovandoci in questa condizione:

Dove “B” è il campo magnetico in “P”. Il primo membro è pari alle seguenti quantità:

B(jdy)	linea posteriore
B(idx)	linea sinistra
(B+dB/dx*dx)(-jdy)	linea anteriore
(B+dB/dy*dy)(-idx)	linea destra

Che vanno sommate:

B(jdy)  + B(idx) + (B+dB/dx*dx)(-jdy) + (B+dB/dy*dy)(-idx) =

= Bjdy + Bidx – Bjdy – dBj/dx * dx dy – Bidx – dBi/dy * dx dy =

Mettendo in evidenza dx dy

= dx dy (dBj/dx – dBi/dy) =

= dx dy (dBy/dx – dBx/dy)

Applicando gli operatori differenziali si ha

dx dy rot B

Il secondo membro è pari a:

μ₀( i + dΦ_E / dt)

dove

i = J dA

con “J “densità di corrente e “dA = z dx dy” vettore superficie, ottenendo:

i = J(z dx dy) =

= Jz dx dy

Per quando riguarda

dΦ_E / dt

lo si può scrivere come

dE dA / dt =

= dEz dx dy /dt

Mettendo in evidenza dx dy si ottiene:

μ₀dx dy( Jz + dEz / dt)

infine uguagliando il primo e il secondo membro ottenuti si ha:

dx dy rot B = μ₀dx dy( Jz + dEz / dt)

rot B = μ0( Jz + dEz / dt)

Legge di Ampere Maxwell

Allo stesso modo si dimostra che

rot E = - dB/dt

Legge di induzione di Faraday

La scrittura in forma differenziale è la seguente:

Dalla teoria di Maxwell emerge che tutte le onde elettromagnetiche hanno proprietà comuni, infatti si possono descrivere tutte in termini di campi “E” e “B”, tutte si propagano con la stessa velocità ed hanno tutte uguale forma e descrizione matematica. La generazione delle onde elettromagnetiche (oltre a quelle presenti in natura) avviene tramite circuiti oscillanti i quali non vengono trattati in quanto il lettore dovrebbe avere nozioni di elettrotecnica.