Onde EM ed equazioni di Maxwell

Tramite ragionamenti sull’elettromagnetismo Maxwell dimostrò che la velocità delle onde EM nello spazio vuoto è uguale a “c” (velocità della luce), ossia la luce è un'onda EM. Matematicamente siccome l’onda ha una forma sinusoidale i due campi “E” e “B” si scrivono come:

E = E_m sin( Kx – ωt) e B = B_m sin( Kx – ωt)

"Dove “ω” è la pulsazione del dipolo oscillante e “K” è il numero d’onda. Per cui se un onda si propaga alla velocità della luce allora “ω” e “K” sono legate dalla relazione:

c = ω / K

per quanto riguarda ω:

ω = 2πf

con

f = c / λ

quindi

ω = 2πc / λ

per quanto riguarda K:

K = 2π / λ

Facendo il rapporto tra ω e K, sostituendo le grandezze sopra elencate si ottiene “c”.

Andando a valutare il campo elettrico di un onda ci troviamo nella seguente situazione:

Applicando

∫E ds = - dΦ_B / dt

e facendo la circuitazione, il primo membro di questa sarà pari a:

(E + dE)h – Eh =

= Eh + dEh – Eh =

= dEh

Il secondo membro sarà pari a:

Φ_B = (B)(dxh)

derivando rispetto al tempo si ha:

- dΦ_B/dt = h dx dB/dt

infine uguagliando il primo e il secondo membro ottenuti si ha:

dEh = - h dx dB/dt

semplificando e dividendo primo e secondo membro per dx si ha:

dE/dx = - dB/dt

poiché E e B sono note, andandole a calcolare le derivate si ha:

KE_m cos(Kx – ωt) = ωB_m cos(Kx - ωt)

semplificando

KE_m = ωB_m

Siccome

ω/K = c

anche

E/B = c

Questo è un importantissimo risultato. Il successivo risultato che si dimostra nelle righe seguenti è di fondamentale importanza perché si ottiene la velocità della luce da considerazioni elettromagnetiche. Andando a valutare il campo magnetico di un onda ci troviamo nella seguente situazione:

Applicando ∫B ds = μ0dΦE / dt (nel secondo membro vi è un termine mancante poiché non vi e corrente di conduzione in un onda EM, ma solo di drift) e facendo la circuitazione, il primo membro di questa sarà pari a quanto segue:

-(B + dB)h + Bh =

= -Bh – dBh + Bh =

= - dBh

Il secondo membro sarà pari a:

Φ_E = (E)(dxh)

derivando rispetto al tempo si ha:

- dΦ_E/dt = h dx dE/dt

infine uguagliando il primo e il secondo membro ottenuti si ha:

- dBh = μ₀ε₀h dx dE/dt

semplificando e dividendo primo e secondo membro per dx si ha:

- dB/dx = μ₀ε₀ dE/dt

poiché E e  B sono note, andandole a calcolare le derivate si ha:

-KB_m cos(Kx – ωt) = - μ₀ε₀ωE_m cos(Kx - ωt)

semplificando

-KB_m = - μ₀ε₀ωE_m

Dividendo primo e secondo membro per B_m si ottiene:

c = K / μ₀ε₀ω

dove al secondo membro il rapporto

K / ω = 1 / c

vale a dire che in fine si ha l’asserto che si voleva dimostrare

c² = 1 / μ₀ε₀