Equazione del diottro sferico

Procediamo adesso con la dimostrazione dell'equazione del diottro sferico:

Un raggio uscente da “o” colpisce perpendicolarmente la lente in “v” e continua a proseguire inalterato. Un secondo raggio forma un angolo “α” e colpisce la superficie di separazione in “a” ed è deviata secondo la legge di Snell. Questo raggio interseca il primo in “i” trovando così l’immagine di “o”. Come per gli specchi si ha:

θ1 = α + β

e

β = θ2 + γ

dalla legge di Snell

θ2 = n1/n2 θ1

β = n1/n2 θ1 + γ

sostituendo θ1 con α + β

β = α n1/n2 + β n1/n2 + γ

moltiplicando primo e secondo membro per n2

n2β = n1α + n1β + n2γ

isolando β e mettendolo in evidenza si avrà:

(n2 – n1)β = n1α + n2γ

Dal disegno si evince che α ≈ av/o , β = av/r e γ ≈ av/i  sostituendo questi angoli nella precedente:

(n2 – n1)av/r = n1av/o + n2av/i

dividendo il primo ed il secondo membro per “av” si ottiene l’equazione che stavamo cercando:

n1/o + n2/i = (n2 – n1)/r

Le lenti sottili, al contrario delle lenti spesse di cui sopra è discusso, sono lenti il cui spessore è piccolo rispetto alla distanza dell’oggetto “o” alla distanza di “i” e i raggi di curvatura delle superfici rifrangenti. L’equazione che governa le lenti sottili è la successiva:

1/o + 1/i = 1/f

dove

1/f = (n-1)(1/r1 – 1/r2)

questa è detta "Equazione del costruttore di lenti".

“r1” è il raggio di curvatura della superficie su cui incide la luce,

“r2” è la superficie opposta,

“n” è l’indice di rifrazione dell’aria.