Equazione dello specchio sferico

Passiamo adesso alla dimostrazione dell’equazione dello specchio sferico:

Si considera un raggio che esce da “o” e che incide in un punto “a” che lo riflette con lo stesso angolo “θ”, un altro raggio sempre uscente da “o” ma parallelo all’asse del vertice, quando il raggio riflesso si incrocia con quello parallelo all’asse si formerà l’immagine “i”.

Dalla geometria si sa che:

β = α + θ

da cui

θ = β - α

γ = α + 2θ

sostituendo θ con β – α si ottiene

γ = α + 2(β – α)

γ = α + 2β - 2α

γ = 2β – α

isolando β si ha

2β = γ + α

Dal disegno si evince che α ≈ av/o , β = av/r e γ ≈ av/i  sostituendo questi angoli in 2β = γ + α si ottiene:

2av/r = av/i + av/o

dividendo il primo ed il secondo membro per “av” si ottiene l’equazione che stavamo cercando:

1/o + 1/i = 2/r

La condizione necessaria che ha permesso di dimostrare l’equazione è la parassialità. La stessa dimostrazione poteva essere fatta per lo specchio convesso. Nella figura seguente sono riportati due esempi per trovare l’immagine “i” di “o” tramite costruzione grafica, rispettivamente per uno specchio concavo e uno convesso.

L’immagine “i” dello specchio concavo si forma in questo modo quando l’oggetto è molto distante, ottenendo un immagine reale, bensì si può presentare il caso in cui la sorgente si trova tra il fuoco e lo specchio, come di seguito riportato:

In questo caso l’immagine “i” sarà virtuale, pertanto negativa. Andando a calcolare l’ingrandimento “│m│ = i/o” per gli specchi sferici, se “m > 0” l’immagine è diritta rispetto la sorgente, se “m < 0” l’immagine è capovolta rispetto l’oggetto. Per quanto concerne le superfici rifrangenti vale a dire le lenti, qui le convenzioni sono differenti. La zona alla sinistra della lente è detta virtuale “V”, qui l’unica grandezza positiva è “o”. Lo spazio alla destra della lente è detta reale “R” e qui tutte le grandezze sono positive eccetto “o”. L’equazione che lega “o”, “i” ed “r” è la successiva:

n1/o + n2/i = (n2 – n1)/r

dove “n1” ed “n2” sono gli indici di rifrazione del mezzo in cui si trova la lente e della lente. Procediamo adesso con la dimostrazione dell'equazione del diottro sferico nella prossima sezione.